更新時(shí)間：2025-10-24 20:14:48作者：佚名
針對(duì)圓錐曲線，這里特指橢圓、雙曲線、拋物線，從其定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程著手，怎樣去進(jìn)行推導(dǎo)跟焦點(diǎn)相關(guān)的焦半徑公式，還有焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及其相關(guān)的結(jié)論，然后進(jìn)一步去加以應(yīng)用。
本文不作特別說(shuō)明，橢圓、雙曲線、拋物線都是針對(duì)焦點(diǎn)在
軸上標(biāo)準(zhǔn)方程(其中拋物線考慮標(biāo)準(zhǔn)方程
分別為橢圓或雙曲線的左、右焦點(diǎn)，
是拋物線的焦點(diǎn)，
它是對(duì)應(yīng)那個(gè)圓錐曲線上的一點(diǎn)，全部的公式推導(dǎo)都拿橢圓方程當(dāng)例子，并且優(yōu)先去考慮左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的那些相關(guān)公式，雙曲線能夠完全依照橢圓的推導(dǎo)過(guò)程得出，特殊情形會(huì)另外給出說(shuō)明。
焦半徑指的是圓錐曲線上任意一點(diǎn)跟焦點(diǎn)的連線段，對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)而言，都對(duì)應(yīng)著兩條焦半徑，對(duì)于雙曲線上的任意一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，同樣對(duì)應(yīng)兩條焦半徑，對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)來(lái)講，焦半徑是唯一存在的。
是橢圓上任意一點(diǎn)，則有
從而焦半徑
，所以
其中e為橢圓的離心率.
實(shí)際上，于橢圓定義推導(dǎo)橢圓方程進(jìn)程里，已然出現(xiàn)此式子，進(jìn)行設(shè)定
滿足
分子有理化得
于是有
(1)(2)兩式相加得
升量慧，363e元，有4aad，西途ca5c，科智公，東軟技件，優(yōu)廣e98b6d3b，點(diǎn)學(xué)量司，限e228，網(wǎng)。
即為橢圓上一點(diǎn)
到橢圓左焦點(diǎn)的距離.
于是我們得到橢圓的焦半徑公式(I)：
同理有雙曲線的焦半徑公式(I)：
當(dāng)點(diǎn)處于雙曲線的不一樣的支上時(shí)，絕對(duì)值當(dāng)中式子的正或者負(fù)，大家能夠自行去討論.
拋物線的焦半徑公式可以直接由拋物線的定義得到，即
例1 橢圓
的右焦點(diǎn)為F，直線
與x軸相交的點(diǎn)是A，于橢圓之上存在著點(diǎn)P，此點(diǎn)P能使得線段AP的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，那么橢圓離心率的取值范圍是____.
正確答案是
解 設(shè)
，則有
，即
解得
又因?yàn)?/p>
，所以有
兩邊同除a可解得
根據(jù)橢圓的焦半徑公式(I)可知，要是知道橢圓上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么就能夠很輕易地求出橢圓的焦半徑長(zhǎng)，然而有的時(shí)候，我們所知曉的并非橫坐標(biāo)的值，而是焦半徑跟x軸形成的角度，此時(shí)我們能夠依據(jù)上面的焦半徑公式(I)著手去推導(dǎo)由焦半徑與x軸正半軸所成的角。
對(duì)應(yīng)的焦半徑公式.
設(shè)PF與x軸正半軸形成的角度為
，則有
整理得
，于是有
學(xué)司于心量，方心優(yōu)慧，363e有，4aad西，ade0限，e228學(xué)，4d65軟，97c3科，智件b8a0，東升量廣，e98b6d3b點(diǎn)，公ee93途，ca5c元技網(wǎng)
解得
同理可以推得右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的焦半徑公式
其中，
是焦半徑
與x軸正半軸形成的角，要注意，同一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)與左焦點(diǎn)連線形成的焦半徑，和該點(diǎn)與右焦點(diǎn)連線形成的焦半徑，這兩條焦半徑與x軸正半軸所成的角并非同一個(gè)角，這是和焦半徑公式(I)差異明顯不同的地方，如圖：
于是我們得到橢圓的焦半徑公式(II)：
其中
為焦半徑
與x軸正半軸所成的角.
對(duì)于雙曲線而言，能與橢圓類(lèi)似得出雙曲線的焦半徑公式（II），要明白，當(dāng)雙曲線上的點(diǎn)處于雙曲線不同支時(shí)，焦半徑公式（I）里絕對(duì)值的正負(fù)情況不一樣需分別討論，雙曲線的焦半徑公式（II）為：
當(dāng)P在雙曲線的左支時(shí)，有
當(dāng)P在雙曲線的右支時(shí)，有
其中
為焦半徑
與x軸正半軸所成的角.
拋物線的焦半徑公式為：
其中
為焦半徑PF與x軸正半軸所成的角.
橢圓的焦半徑公式(II)有兩個(gè)常用的推論：
推論1 橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：
該序列內(nèi)容混亂無(wú)特定邏輯，無(wú)法進(jìn)行條理清晰拆解改寫(xiě)，建議提供更有意義的句子以便準(zhǔn)確改寫(xiě) 。但按照要求盡量拆分可為：網(wǎng)學(xué)量心方優(yōu)心科智，fd39方慧，363e件b8a0升量術(shù)技，東公ee93有4aad西ade0827536a01159途ca5c智元司限e228學(xué)4d65廣e98b6d3b點(diǎn)-e462軟97c3 。
其中AB為橢圓的焦點(diǎn)弦，AB的傾斜角為
圓錐曲線的焦點(diǎn)弦，是指過(guò)某一個(gè)焦點(diǎn)的直線，與該圓錐曲線相交后，所得到的兩個(gè)交點(diǎn)之間的線段，當(dāng)這個(gè)弦和x軸，也就是橢圓的長(zhǎng)軸，或者雙曲線的實(shí)軸垂直時(shí)，所得到的弦，我們把它稱(chēng)作通徑，由于焦半徑公式（II）是和角度有關(guān)系的公式，所以我們能夠很容易地從它得出橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式。
證明 設(shè)AB是過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的焦點(diǎn)弦，AB的傾斜角為
，不妨設(shè)A點(diǎn)在x軸上方，如圖：
由焦半徑公式(II)知
于是
這便是橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，能夠輕易知曉，針對(duì)于經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的弦而言，此公式同樣是適用的。
事實(shí)上，對(duì)于雙曲線，同樣有推論1，即雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：
其中AB為雙曲線的焦點(diǎn)弦，AB的傾斜角為
不管A、B兩點(diǎn)處于雙曲線的同一分支之上，還是處于雙曲線的不同分支之上，這個(gè)公式都是成立的，只是絕對(duì)值里面的式子，其正負(fù)情況是有所不同的。
拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式更為簡(jiǎn)單，即
其中AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，AB的傾斜角為
例2 橢圓
M為橢圓上不同的點(diǎn)，N為橢圓上不同的點(diǎn)，P為橢圓上不同的點(diǎn)貝語(yǔ)網(wǎng)校，Q為橢圓上不同的點(diǎn)，MN不和x軸垂直，PQ不和x軸垂直，MN分別過(guò)某點(diǎn)，PQ分別過(guò)某點(diǎn)。
，求證：
為定值.
解 設(shè)PQ的傾斜角為
，則MN的傾斜角為
，則由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式知
所以
-e462，法有，4aad，西ade0827536a01159，網(wǎng)徑科智，fd39，方件b8a0，公ee93811d7961，司學(xué)量心方慧，363eaaf0，升量術(shù)技軟，97c3，廣e98b6d3b，點(diǎn)途ca?c，智493a傾斜角公式，元東優(yōu)心限，e228，學(xué)4d65。
為定值.
推論2，橢圓存在焦點(diǎn)弦，該焦點(diǎn)弦會(huì)被焦點(diǎn)進(jìn)行分割，分割出兩段線段，這兩段線段長(zhǎng)度存在調(diào)和平均數(shù)，此調(diào)和平均數(shù)是一個(gè)固定的值，也就是說(shuō)，焦半徑的倒數(shù)相加的和是一個(gè)固定的值 。
證明 由焦半徑公式(I)知
于是我們知道
的調(diào)和平均數(shù)為定值，即
這個(gè)定值就是半通徑長(zhǎng)
，由均值不等式易知橢圓的所有焦點(diǎn)弦中，通徑長(zhǎng)最短.
備注1，橢圓的焦半徑公式（I），是從橢圓的第一定義，向第二定義過(guò)渡的重要橋梁，能夠通過(guò)橢圓的焦半徑公式（I），去發(fā)掘橢圓的第二定義，由焦半徑公式（I）可知
設(shè)直線
，稱(chēng)為橢圓的左準(zhǔn)線，記點(diǎn)P到
的距離為d，則有
在所給定的橢圓當(dāng)中，存在這樣一個(gè)情況，即對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)而言，將該點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離，與該點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離相比，其結(jié)果會(huì)是一個(gè)固定不變的值，而這個(gè)固定不變的值，就是橢圓的離心率e。同樣的道理，也存在橢圓的右準(zhǔn)線
于是有，橢圓之上任意一點(diǎn)，到橢圓焦點(diǎn)的距離傾斜角公式，與其到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，兩者比值為定值e，對(duì)于雙曲線而言有類(lèi)似結(jié)論，雙曲線的準(zhǔn)線方程為
雙曲線上存在任意一點(diǎn)，該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，與該點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，二者的比，是一個(gè)定值e，而這個(gè)定值e，就是雙曲線的離心率。
同時(shí)，平面上到定點(diǎn)F與到定直線
(其中
到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比為定值e，其中e大于0，其軌跡為橢圓、雙曲線或拋物線，這取決于e的大小，當(dāng)0小于e小于1時(shí)為橢圓，當(dāng)e等于1時(shí)為拋物線，當(dāng)e大于1時(shí)為雙曲線 。
有圓錐曲線統(tǒng)一定義了，平面上，存在一個(gè)定點(diǎn)，還有一條定直線，定點(diǎn)不在定直線上，到定點(diǎn)的距與到定直線的距之比是定值e，這樣點(diǎn)軌跡是圓錐曲線，e等于1時(shí)，此定義是拋物線定義，當(dāng)e范圍處于
上時(shí)，對(duì)應(yīng)的定義被稱(chēng)為橢圓與雙曲線的第二定義.
備注2，由橢圓的焦半徑公式（II），能夠很輕易地得出橢圓的極坐標(biāo)方程，
找到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，將其設(shè)為極點(diǎn)，把x軸正半軸方向確定為極軸方向，在此基礎(chǔ)上建立極坐標(biāo)系。
很難理解你提供的這段內(nèi)容具體含義，無(wú)法按照要求準(zhǔn)確改寫(xiě)。你可以檢查一下內(nèi)容是否準(zhǔn)確清晰后再讓我進(jìn)行改寫(xiě) 。
則橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)
滿足：
這便是橢圓的極坐標(biāo)方程，留意要是以橢圓的右焦點(diǎn)當(dāng)作極點(diǎn)，將x軸正方向作為極軸來(lái)構(gòu)建極坐標(biāo)系，所獲取的極坐標(biāo)方程成為
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