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（1）求出拋物線的解析表達式；

（2）在第一象限的拋物線上求P點，點P的橫坐標為t，從點P向x軸作一條垂直線，與直線BC相交于點Q，設線段PQ的長度為m，求m與t之間的函數關系，并求m的最大值。

（3）在（2）的條件下，拋物線上某點D的縱坐標為m的最大值，連接BD，拋物線上是否存在一個點E（不與點A、B、C重合），使得∠DBE=45°？若不存在二次函數最值，請說明原因。若存在，請給出點E的坐標。

測試點分析：

二次函數綜合題。

問題分析：

（1）把A、B點的坐標代入拋物線方程，解關于b、c的方程求出b、c的值網校頭條，即可得到拋物線方程。令y=0，解關于x的二次方程，即可得到C點的坐標。

（2）根據拋物線的解析表達式y = -x2 + 3x + 4，令y = 0，得B點的坐標為（4.0）。設直線BC的解析表達式為y = kx + a

將B、C點坐標代入直線BC的解析表達式為y=kx+a。解關于k和a的方程組二次函數最值，求出k和a的值。因此直線BC的解析表達式為y=-x+4。設P點坐標為（t，-t2+3t+4），則Q點坐標為（t，-t+4），所以m=（-t2+3t+4）-（-t+4）。重新整理后可得m=-（t-2）2+4，這又可根據m和t的二次函數求得。

（3）由于m的最大值為4，代入y = -x2 + 3x + 4可求得點D（3，4）的坐標。過點D作DH⊥BC，過點E作EF⊥x軸。由OC=OB=4可知△DCB為等腰直角三角形，因而△CDH為等腰直角三角形。通過等腰直角三角形求得CN、BH的值，再根據三角形相似性得到EF、BF的關系。求得點E的坐標，然后代入y = -x2 + 3x + 4可得解。