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課程基本信息里的教學設計，說的是高二秋季學期數(shù)學學科的內(nèi)容，具體課題是2.2.4直線的方向向量與法向量，教材分析如下，其一內(nèi)容結構上，整體結構是，此節(jié)課從湘教版高中教材《數(shù)學·選擇性必修·第一冊》第二章第2節(jié)“2.2.4直線的方向向量與法向量”選取，其二在本章第一節(jié)課學習時，我們用一點一方向描述直線，還借助傾斜角與斜率刻畫直線方向（傾斜程度），進而得到直線的五個方程 。點斜式，有其幾何意義，斜截式，也有特定幾何意義，兩點式，同樣具備幾何意義，截距式，亦存在明顯幾何意義，然而，這些都以斜率存在作為前提條件，在處理某些問題時，并不便利。一般式，作為綜合多種形式的存在，雖不存在限制條件，但其幾何意義卻并不顯著。基于這樣的情況，在本節(jié)，將會引入直線的方向向量，以及法向量，一方面，用以彌補僅僅利用斜率刻畫直線方向所存在的不足，另一方面，為一般式賦予明顯的幾何意義，進而拓展一般式的應用范圍。單課程結構剖析：向量這一連接幾何與代數(shù)的關鍵橋梁，賜予本節(jié)課直線方向向量引入以思路，另外法向量的過渡運用了向量垂直在數(shù)量積下的等效定義，達成將代數(shù)語言轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀握Z言并進而獲取新知識，契合新課改下從舊知引入新知的課程理念。不僅如此，方向向量與法向量為往后兩點間的距離公式、點到直線的距離公式的探究提供強有力的工具 。為今后依靠空間向量研究空間幾何的問題筑牢基礎，發(fā)揮承前啟后的功效 。首先是教學功能分析，本節(jié)課的學習在于發(fā)揮向量于解析幾何里的重要作用，這對培養(yǎng)學生分析、綜合、轉(zhuǎn)化等邏輯思維能力能夠起到幫助。接著是學情分析，這里面的學生學習準備分析表明，學生于湘教版高中教材《數(shù)學·選擇性必修·第一冊》第二章第2節(jié)中，已然學習了五種直線方程，他們也已經(jīng)掌握這五種直線方程在具體問題當中的應用。然而一般式作為集大成者，學生更多的只是對其有著簡單的理解，也就是將其轉(zhuǎn)化為其他形式，對于其本身的幾何意義卻并不熟悉。2. 關于學生心理特點的分析：學生擁有本節(jié)復習所需的某些基本能力，像是借助向量描繪直線方向的能力，從垂直于向量數(shù)量積下等價轉(zhuǎn)換等方面去研究直線的能力。然而，學生對于直線方程與向量之間的關聯(lián)欠缺一定的認知，這給學生在憑借具體直線方程的方向向量延伸至一般直線方程的方向向量時帶來了一定的困難。又因?qū)W生對上學期的向量相關知識存在遺忘情況，應用得不熟練。所以在教學里要重視學生從大膽進行猜想到小心加以求證的自主探究進程。教學目的達成的目標要求為：其一，去知悉直線所具備的方向向量以及法向量；其二，能夠借助直線的方向向量以及法向量求出直線的方程；其三，去體悟諸如數(shù)形結合、分類討論、從特殊情形過渡到一般情形等數(shù)學思想，并會妥善運用。教學的具體內(nèi)容涵蓋：教學的重點在于透徹理解直線的方向向量、法向量以及點法式方程，并且能夠?qū)⑵鋺糜跁鴮懼本€方程這個方面；教學的難點則是推導得出以一般式方程展現(xiàn)的直線的方向向量。核心素養(yǎng)所包含的要素有直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學抽象以及邏輯推理。教學的進程涵蓋環(huán)節(jié)一：知識回顧，其間設有問題引導，問題一為：先前在學習過程中明確提出一個點加上其一方向能夠用以描述一條直線，其中該直線的方向是運用傾斜角以及斜率來表述刻畫的，然而斜率卻無法用來表示垂直于x軸的直線，基于此情形，是否能夠利用天然就帶有方向?qū)傩缘南蛄縼韺χ本€進行刻畫呢？問題二：在平面直角坐標系里給出一條直線，對于其一問，有哪些量能夠用來表示直線l的傾斜程度也就是方向？對于其二問，在其上隨意選取兩個不一樣的點、，那么 。思考情況如下：向量可不可以用來表示直線的方向呢？帶著引導學生交流討論，讓其口答復習題，促使其思考問題的這個設計意圖，去復習前面所學直線l傾斜程度的表示方法，進而探討向量能不能表示傾斜程度。環(huán)節(jié)二是新知探究，是知識融合。其一，直線的方向向量是與平行的所有非零向量，要注意因取點具有任意性，所以直線的方向向量并不唯一，所有非零實數(shù)倍都是方向向量；特別的是，在直線上任意取兩個不一樣的點、，那么。這就是直線的一個方向向量。問題3是，取直線的一個方向向量是，需思考當實數(shù)取什么值時，達成方向向量與斜率的轉(zhuǎn)化？當時，直線的方向向量能夠用問題4：從起始點出發(fā)，怎樣憑借傾斜角和斜率之間的關系達成方向向量與傾斜角的相互轉(zhuǎn)換？所以選取來作為直線的另外一個方向向量。（其模長為1）問題5：依靠上述知識，去求一般直線（A、B不同時為0）的一個方向向量？因此，拿來作為一般情況下直線的另外某種方向向量使用。問題6：依據(jù)上述的分析情況，我們是從方向向量的定義領域起始出發(fā)的，憑借方向向量之間存在的實數(shù)倍的那種關系直線的方向向量怎么求，各自獲得了方向向量在不一樣的條件之下的簡便表達格式，思索當處于那種情況的時候，有關傾斜角與一般形式之下是怎樣的結論是否依舊能夠成立呢？由圖選取在這個時候直線的一個方向向量為，當處于那個時刻時，在這個時候直線方程為，所以；當處于另一時刻時，另外兩個情況均可用來表示直線的方向向量，因此上面的結論對于任何結論都是成立的。【設計意圖】在本環(huán)節(jié)給出直線方向。用向量的定義，并且討論方向向量的數(shù)量，得出全體方向向量與一個方向向量存在數(shù)乘關系的結論，并且從已知直線上兩點去求方向向量的定義開始，借助方向向量之間實數(shù)倍的關系，得出斜率與方向向量的關系，并且從這個關系出發(fā)得出傾斜角與方向向量的關系，并且借助第一個結論推廣到一般式下方向向量的求解 。憑借問題來引領思考，進而正確領會直線的方向向量，并且憑借此來串聯(lián)起本節(jié)的知識點，這是符合大單元情形下多知識的融合以及緊密關聯(lián)狀態(tài)的，對學生構建知識框架、梳理清晰思路、突破教學難點是有幫助的。問題7：已知直線經(jīng)過固定的點，選取直線上任意的一點，請問要用兩種方式來表示直線的兩個方向向量嗎？當兩點并非處于重合狀態(tài)時，依據(jù)如下定義：直線的方向向量能夠被表示成，通過一般式的方向向量：能夠由予以表示，鑒于直線的方向向量彼此呈現(xiàn)平行（共線）的態(tài)勢，按照向量在坐標情形下共線的等價定義能夠知曉：，問題8：能不能借助向量，達成上述等式與幾何之間的結合？設有，設定之后，則，也就是說當兩點處于重合狀態(tài)時，是零向量并非方向向量，然而依舊與向量相互垂直。2. 直線的法向量：基于上述情況被稱作直線的法向量，也就是垂直于方向向量（直線）的非零向量。這是直線的一般式方程所具備的幾何意義：由一次項系數(shù)組成的向量是直線的法向量。相反地，要是已知直線的法向量，那么就知曉了一般式方程的一次項系數(shù)。【設計意圖】在給定兩點去求方向向量，給出一般式下的方向向量的情形下，借助問題7，把兩者進行結合從而得到等式（點法式），借助向量將代數(shù)等式與幾何聯(lián)系起來，再次展現(xiàn)本節(jié)課借助向量達成代數(shù)與幾何相互轉(zhuǎn)化的本質(zhì)。與此同時將問題7，把本節(jié)課里頭的方向向量以及法向量串聯(lián)在一起，展現(xiàn)出數(shù)學知識的發(fā)生以及發(fā)展方面的過程，在真正的意識層面達成數(shù)學知識的互相聯(lián)系，和學習的必要性，對學生構建清晰的知識脈絡有幫助，體現(xiàn)大個單元教學理念。環(huán)節(jié)三：典例剖析 學以致用，例1．已知直線，（1）求直線的全體方向向量，（2）求直線的傾斜角，（3）求直線的法向量。變式1：已知直線，請說出直線的一個方向向量。變式2：已知直線的傾斜角為直線的方向向量怎么求，請說出直線的一個方向向量。解：（1）一般式下直線的全體方向向量為，（2），（3）一般式下直線的法向量為。變式1：在給出斜率的直線方程中，一個方向向量為。變式2：在給出斜率的直線方程中，一個方向向量為。【設計意圖】例1考察直線的一般式方程下方向向量與法向量求解，充分體現(xiàn)了一般式的幾何意義，作為上節(jié)課一般式的補充，不僅在代數(shù)方面可以轉(zhuǎn)化為其他直線形式，而且在幾何方面隱含著直線的方向向量與法向量。傾斜角、斜率、方向向量與法向量作為刻畫直線傾斜程度的幾何量，變式1,2實現(xiàn)了這些量之間的相互轉(zhuǎn)化，再次體現(xiàn)知識間的緊密聯(lián)系。例2．寫出滿足下列條件的直線的方程：（1）垂直于向量，并且經(jīng)過點，（2）平行于向量，并且經(jīng)過點，（3）經(jīng)過點和。解：（1）已知直線的法向量為，設其一般方程為，將點代入上述方程，解得C=-8，因此，所求直線方程為。（2）已知直線的方向向量為，設直線法向量為，由，可知湊出直線的法向量為： ，設其一般方程為，將點代入上述方程，解得C=-1，因此起步網(wǎng)校，所求直線方程為。（3）由兩點坐標，可知直線的方向向量為，進而問題轉(zhuǎn)化為（2）。給出例2，師生討論與分析在給定直線方向向量與法向量下直線方程的求解。并且，借助第3問存在多種解法的情況之下，去感受依靠方向向量以及法向量來求解直線方程時具備的方便和簡潔的地方。【設計意圖】例子2跟例子1恰好相反，在知曉方向向量或者法向量這種狀況下，怎樣去設定直線的一般式方程。第3問存在一題多解的情況，能借助之前的兩點式方程來求解，除此之外，能夠依據(jù)兩點坐標先算出方向向量，接著憑借直線的方向向量與法向量的垂直關系“湊”出法向量，這屬于對數(shù)學本質(zhì)的深刻認識，是一種帶有明確目的的數(shù)學方法，進而設定出一般式方程，運用待定系數(shù)法求出參數(shù)C。本例題的3個小問呈現(xiàn)出層層遞進的態(tài)勢，同時也是一點一方向確定一條直線的鞏固練習。環(huán)節(jié)四 ：鞏固練習 例2變式 ：寫出滿足下列條件的直線方程 ，并歸納總結 變式與例2的聯(lián)系 。 （1）過點 ，且與直線平行的直線 。 （2）過點 ，且與直線平行的直線 。 （3）過點 ，且與直線垂直的直線 。 （4）過點 ，且與直線垂直的直線 。 【設計意圖】借助變式練習 ，讓學生抓住求直線方程的本質(zhì)是知道直線上一點和方向 ，只要知道所求直線的方向向量或法向量即可 ，雖然（1）（2）一般式中常數(shù)不同 ，但只要方向向量相同 ，則所求方程是一樣的 ，此處為兩直線的位置關系的等價定義奠定基礎 。環(huán)節(jié)六 ：歸納總結 小結提升 本節(jié)課學習了那些知識 ，能解決什么問題 ，涉及到了哪些數(shù)學思想？ ， ， ， 你提供的信息中前幾處點 ： ， ， ， 沒有具體內(nèi)容 ，但按照要求進行了改寫 。還請你補充該部分信息 ，以便內(nèi)容更完整準確 。在本節(jié)研究里，有思維導圖展示，向量自始至終貫穿其中，它充分展現(xiàn)出向量工具在連接代數(shù)與幾何方面所具備的強大作用，并且是從方向向量定義起始，借助轉(zhuǎn)化與劃歸的方式，把描述直線方向（也就是傾斜程度）的幾何量貫通起來，以此體現(xiàn)出知識之間緊密的聯(lián)系。學科網(wǎng)（北京）股份有限公司。